VII Открытый Кубок России по ЧГК. 3 тур. Вопрос 3

Вопрос 3: Возможности этой пары, известной с древности, ограничены, хотя понятно это стало далеко не сразу. Интересно, что всё, что под силу им вдвоем, под силу как ему в одиночку, так и ей в одиночку, если использовать обе ее стороны. Назовите и его, и ее.

Ответ: Циркуль и линейка.

Комментарий: Доказаны теоремы, что все построения, которые могут быть осуществлены с помощью циркуля и линейки, можно осуществить с помощью только циркуля или с помощью только двусторонней линейки (т.е. линейки, при помощи которой можно проводить параллельные прямые). Под построением подразумевается построение нужной точки; естественно, целую прямую циркулем не провести, равно как окружность — линейкой. Циркулем и линейкой можно решить далеко не любую задачу на построение (скажем, невозможны квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба), однако доказать это удалось спустя сотни лет после начала изучения построений циркулем и линейкой.

Источник(и):
    1. А.Н. Костовский "Геометрические построения одним циркулем". М.: Наука, 1989, с.5.
    2. В.В. Прасолов "Задачи по планиметрии". М.: Наука, 1991, с.207.

Автор: Мишель Матвеев (Санкт-Петербург)